分數疊代連天邊，速解循環與收斂

作品摘要

假設一個分子與分母皆為一元一次方程式的分數函數 $\frac{ax + b}{cx + d}$，其中 $a, b, c, d$皆為常數， $x$為變數，例如 $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$，代入 $x$後得 $f(x)$，將 $x$再以 $f(x)$代入，得 $f(f(x))$，重複動作，此時發現 $x$可能在多次後循環回最初的 $x$，也可能收斂至某一定值或發散至無限，本研究旨在尋找以上三種情況時， $a, b, c, d$之間的關係，以及代入幾次剛好循環與不斷代入後的收斂值之速解。